Rasyonel Sayılı Köşelere Sahip Graflardaki Jeodezik Yollardan Üretilen Metriklerin Karşılaştırılması

Çalışma, gcd(u,N)=1 varsayımı altında u^2+〖(-1)〗^i k_i u+1 ≡ 0 (mod N) denklemi etrafında üç ardışık adımdan oluşur: (i) i∈{1,2} için çözümlerin sınıflandırılması ve k_1 ≡ u+u^(-1) (mod N), k_2 ≡ -(u+u^(-1)) (mod N) kapalı biçimlerinin doğrulanması; (ii) bu kᵢ değerleri sabitlenerek A_0=0; A_1=1 ve A_n=(-k_i)A_(n-1)+(-1)A_(n-2) yinelemesi altında Aₙ dizisi üzerinde özdeşliklerin türetilmesi; (iii) F_(u,N) grafında minimal yolun köşe değerlerine dayalı metriklerin Farey grafındaki karşılıklarıyla kıyaslanması. Özgün katkı, literatürdeki Cassini veya toplamsal biçimlere yalnızca yapısal benzerlik gösteren, ancak ifade yapısı ve geçerlilik koşulları bakımından kᵢ’ye bağlı olarak farklılaşan **yeni** kᵢ-parametrik özdeşliklerin elde edilmesidir. Çalışmada, karakteristik polinom yaklaşımı ve 2×2 eşlik matrisi üzerinden kurulan sembolik iskelet, sayısal kalıntı testleriyle birlikte kullanılmış ve yeni eşitliklerin doğruluğu denetlenmiştir.

Bulgular, sınıflandırmanın iki çözüm sınıfını açık biçimde ayırdığını; yeni kᵢ-parametrik özdeşliklerin Aₙ ailesi üzerinde tutarlı ve tekrarlanabilir biçimde sağlandığını; metrik kıyasının ise kısa periyotlu sürekli kesir açılımlarında daha yüksek yakınsama eğilimi gösterdiğini ortaya koymaktadır. Anahtar Kelimeler: yeni kᵢ-parametrik özdeşlikler; kongrüans çözümleri; Aₙ dizisi; F_(u,N) grafı; jeodezik yol; metrik karşılaştırması.